Question

（2012•馬鞍山二模）如圖，已知橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，長軸長是短軸長的2倍且經過點M（2，1），平行于OM的直線l在y軸上的截距為m（m≠0），直線l交橢圓于A、B兩個不同點（A、B與M不重合）．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）當MA⊥MB時，求m的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，根據長軸長是短軸長的2倍且經過點M（2，1），建立方程組，即可求得橢圓的方程；
（Ⅱ）依題意kOM=

1

2

，設直線l的方程代入橢圓方程，整理并利用韋達定理，結合MA⊥MB，即

MA

•

MB

=0，從而可求m的值．

解答：解：（Ⅰ）設橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
則

a=2b 4 a2 + 1 b2 =1

，∴a²=8，b²=2
∴橢圓方程為

x2

8

+

y2

2

=1…（6分）
（Ⅱ）依題意kOM=

1

2

，…（7分）
可設直線l的方程為：y=

1

2

x+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則

MA

=(x1-2，y1-1)，

MB

=(x2-2，y2-1)
∵MA⊥MB，∴

MA

•

MB

=0，
∴x₁x₂-2（x₁+x₂）+y₁y₂-（y₁+y₂）+5=0
∴

5

4

x₁x₂+（

1

2

m-

5

2

）（x₁+x₂）+m²-2m+5=0…①
由y=

1

2

x+m代入橢圓方程，消y并整理化簡得：x²+2mx+2m²-4=0
∴△=（2m）²-4（2m²-4）＞0，解得：-2＜m＜2…（10分）
由韋達定理得：x₁+x₂=-2m，x₁x₂=2m²-4代入①得：

5

4

（2m²-4）+（

1

2

m-

5

2

）×（-2m）+m²-2m+5=0…①
解得m=0或m=-

6

5

…（12分）
∵點A，B異于M，∴m=-

6

5

…（13分）

點評：本題考查橢圓的性質及直線和圓錐曲線的位置關系，考查向量知識的運用，屬于中等題．