Question

如圖，橢圓的標準方程為，P為橢圓上的一點，且滿足PF₁⊥PF₂，
（1）求三角形PF₁F₂的面積．
（2）若此橢圓長軸為8，離心率為，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用直角三角形的勾股定理及橢圓的定義得到關于|PF₁|，|PF₂|的方程，求出|PF₁|•|PF₂|的值，利用直角三角形的面積公式求出△PF₁F₂的面積．
（2）由題知：a=4，得出橢圓的標準方程，再根據PF⊥PF₂得到P為以F₁F₂為直徑的圓上，兩者結合組成方程組求解即可得點P的坐標．
解答：解：（1）根據橢圓的定義，得|PF₁|+|PF₂|=2a，平方得|PF₁|²+2|PF₁||PF₂|+|PF₂|²=4a²
又PF⊥PF₂∴|PF₁|²+|PF₂|²=4c²
∴|PF₁||PF₂|=2b²
∴S=|PF₁||PF₂|=b²…7′．
（2）由a=4，=得b²=4  ….9′
∴橢圓的標準方程為+=1  …..10′
由PF⊥PF₂∴P為以F₁F₂為直徑的圓上．….13′
+=1  ①x²+y²=12  ②
聯列方程組 得x=y=±
∴點P的坐標：P₁（，）   P₂（-，）  
 P₃（-，-）    P₄（，-）….15′
點評：本題考查橢圓的定義、橢圓的簡單性質的應用，以及用待定系數法求橢圓的標準方程的方法，考查計算能力．