Question

【題目】已知函數.

（Ⅰ）設是的極值點，求的值；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，在定義域內恒成立，求的取值范圍；

（Ⅲ）當時，證明：.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)1(Ⅱ)2（Ⅲ）詳見解析

【解析】

（Ⅰ）對函數求導，由題意知，可求出的值，經檢驗m=1符合題意；（Ⅱ）求出函數的單調性，進而求出最小值，令即可得到答案；（Ⅲ）由題意，當m≤2，x∈（-m，+∞）時，，故只需證明當m=2時，，進而分析函數單調性，求得，即可。

解：（Ⅰ）∵，x=0是f（x）的極值點，∴，解得m=1．

經檢驗m=1符合題意.

（Ⅱ）由（ Ι）可知，函數f（x）=ex-ln（x+1）+1，其定義域為（-1，+∞）．

∵

設g（x）=ex（x+1）-1，則g′（x）=ex（x+1）+ex＞0，所以g（x）在（-1，+∞）上為增函數，

又∵g（0）=0，所以當x＞0時，g（x）＞0，即f′（x）＞0；當-1＜x＜0時，g（x）＜0，f′（x）＜0．

所以f（x）在（-1，0）上為減函數；在（0，+∞）上為增函數；因此，的最小值為

∵在定義域內恒成立,即

（Ⅲ）證明：要證，即.

設,即證

當mx∈（-m，+∞）時，，故只需證明當m=2時，.

當m=2時，函數在（－2，+∞）上為增函數，且．

故在（－2，+∞）上有唯一實數根，且∈（－1，0）．

當時，，當時，,

從而當時，取得最小值．

由，得，即，故．

綜上，當m≤2時， 即＞m．