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設定義在R+上的函數y＝f(x)，對于任意正數x、y都有f(xy)＝f(x)＋f(y)，且當x＞1時，f(x)＜0，f(3)＝－1．

(1)求f(1)和f的值；

(2)若不等式f(x)＋f(2－x)＜2成立，求x的取值范圍；(提示：x2－2x＋＜01－＜x＜1＋)

(3)若存在正數k，使不等式f(kx)＋f(2－x)＜2有解，求正數k的取值范圍．

答案：
解析：

　　(1)f(1)＝0，f＝2．

　　(2)x的取值范圍是．

　　(3)不等式f(kx)＋f(2－x)＜2(k＞0)可轉化為kx(2－x)＞(k＞0)，且0＜x＜2，則當0＜x＜2時，要使不等式k＞有解，只需滿足k＞，又當0＜x＜2時，[x(2－x)]max＝1，故k＞．


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

設定義在R上的函數f（x）=ax3+bx2+cx+d滿足：①函數f（x）的圖象過點P（3，-6）；②函數f（x）在x1、x2處取得極值，且|x1-x2|=4；③函數y=f（x-1）的圖象關于點（1，0）對稱．
（1）求f（x）的表達式；
（2）若α，β∈R，求證：|f(2cosα)-f(2sinβ)|≤
643
；
（3）求過點P（3，-6）與函數f（x）的圖象相切的直線方程．

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科目：高中數學 來源： 題型：

給出以下命題：
①函數f（x）=|log2x2|既無最大值也無最小值；
②函數f（x）=|x2-2x-3|的圖象關于直線x=1對稱；
③向量
AB
與向量
CD
共線，則A，B，C，D四點共線；
④若函數f（x）滿足|f（-x）|=|f（x）|，則函數f（x）或是奇函數或是偶函數；
⑤設定義在R上的函數f（x）滿足對任意x1，x2∈R，x1＜x2有f（x1）-f（x2）＜x1-x2恒成立，則函數F（x）=f（x）-x在R上遞增．
其中正確的命題是
②④⑤
②④⑤
（寫出所有真命題的序號）

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科目：高中數學 來源： 題型：

設定義在R上的函數f（x）滿足對?x，t∈R，且t≠0，都有t（f（x+t）-f（x））＞0，則{（x，y）|y=f（x）}∩{（x，y）|y=a}的元素個數為
0或1
0或1
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設定義在R上的函數f（x）滿足f（x+π）=f（x-π），f（
π
2
-x）=f（
π
2
+x），當x∈[-
π
2
，
π
2
]時，0＜f（x）＜1；當x∈(-
π
2
，
π
2
)且x≠0時，x•f′（x）＜0，則y=f（x）與y=cosx的圖象在[-2π，2π]上的交點個數是（　　）

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科目：高中數學 來源： 題型：

設定義在R上的函數f（x）同時滿足以下條件：①f（x+1）=-f（x）對任意的x都成立；②當x∈[0，1]時，f（x）=ex-e•cos
πx
2
+m（其中e=2.71828…是自然對數的底數，m是常數）．記f（x）在區間[2013，2016]上的零點個數為n，則（　　）
A、m=-
1
2
，n=6
B、m=1-e，n=5
C、m=-
1
2
，n=3
D、m=e-1，n=4

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