Question

給出以下命題：
①函數f（x）=|log2x2|既無最大值也無最小值；
②函數f（x）=|x²-2x-3|的圖象關于直線x=1對稱；
③向量

AB

與向量

CD

共線，則A，B，C，D四點共線；
④若函數f（x）滿足|f（-x）|=|f（x）|，則函數f（x）或是奇函數或是偶函數；
⑤設定義在R上的函數f（x）滿足對任意x₁，x₂∈R，x₁＜x₂有f（x₁）-f（x₂）＜x₁-x₂恒成立，則函數F（x）=f（x）-x在R上遞增．
其中正確的命題是

②④⑤

（寫出所有真命題的序號）

Answer 1

分析：①根據絕對值的性質進行判斷；
②根據對稱軸的公式進行判斷；
③根據向量平行與共線的性質進行判斷；
④特殊函數常數函數，對其判斷；
⑤用定義法判斷則函數F（x）=f（x）-x在R上是否為遞增；

解答：解：①∵函數f（x）=|log2x2|≥0，顯然有最小值，故①錯誤；
②∵函數f（x）=x²-2x-3，的對稱軸x=-

-2

2

=1，因為函數f（x）=|x²-2x-3|與函數f（x）=x²-2x-3對稱軸一樣，∴函數f（x）=|x²-2x-3|的圖象關于直線x=1對稱，故②正確；
③∵兩個向量平行就也叫共線，向量

AB

∥

CD

，但A B C D四點不一定共線，故③錯誤；
④∵|f（-x）|=|f（x）|，∴f（-x）=f（x）或f（-x）=-f（x），∴函數f（x）或是奇函數或是偶函數，故④正確；
⑤∵對任意x₁，x₂∈R，x₁＜x₂有f（x₁）-f（x₂）＜x₁-x₂恒成立，
∴F（x₁）-F（x₂）=f（x₁）-x₁-f（x₂）+x₂=f（x₁）-f（x₂）-（x₁-x₂）＜0，
∴F（x₁）＜F（x₂），
∴函數F（x）=f（x）-x在R上遞增．
故⑤正確；
故答案為②④⑤；

點評：此題主要考查二次函數，向量的共線，以及奇偶函數的性質，用定義法判斷函數的增減性，知識點比較多比較全面，是一道小型綜合題，難度不是很大．