Question

設定義在R上的函數f（x）同時滿足以下條件：①f（x+1）=-f（x）對任意的x都成立；②當x∈[0，1]時，f（x）=e^x-e•cos

πx

2

+m（其中e=2.71828…是自然對數的底數，m是常數）．記f（x）在區間[2013，2016]上的零點個數為n，則（　　）

• A、m=-

  1

  2

  ，n=6
• B、m=1-e，n=5
• C、m=-

  1

  2

  ，n=3
• D、m=e-1，n=4

Answer 1

分析：由f（x+1）=-f（x）⇒f（x+2）=f（x），即函數f（x）是以2為周期的函數，依題意知，f（0+1）+f（0）=1，可求得m的值；當0≤x≤1時，利用導數法可知，f（x）=e^x-e•cos

πx

2

-

1

2

在[0，1]上只有一個零點；同理可求得當x∈[-1，0]時，f（x）=-e^x+1-sin

πx

2

+

1

2

在[-1，0]上只有一個零點；利用函數的周期性即可求得f（x）在區間[2013，2016]上的零點個數．

解答：解：∵f（x+1）=-f（x），
∴f（x+2）=f[（x+1）+1]=-f（x+1）=f（x），
∴函數f（x）是以2為周期的函數，
又當x∈[0，1]時，f（x）=e^x-e•cos

πx

2

+m，
∴f（0）=1-e+m，f（1）=e+m，又f（0+1）=-f（0），
即f（0+1）+f（0）=1，
∴2m+1=0，
∴m=-

1

2

，可排除B、D；
∴f（x）=e^x-e•cos

πx

2

-

1

2

，
∵當0≤x≤1時，f′（x）=e^x+

π

2

sin

πx

2

＞0，
∴f（x）=e^x-e•cos

πx

2

-

1

2

在[0，1]上單調遞增，
又f（0）=1-e-

1

2

＜0，f（1）=e-

1

2

＞0，
∴f（x）=e^x-e•cos

πx

2

-

1

2

在[0，1]上只有一個零點；①
當x∈[-1，0]時，x+1∈[0，1]，f（x+1）=e^x+1-e•cos

π(x+1)

2

-

1

2

，
∴f（x）=-f（x+1）=-e^x+1-sin

πx

2

+

1

2

（-1≤x≤0），
∵當-1≤x≤0時，f′（x）=-e^x+1-

π

2

cos

πx

2

＜0，
∴f（x）=-e^x+1-sin

πx

2

+

1

2

在[-1，0]上單調遞減，
又f（-1）=-1+1+

1

2

＞0，f（0）=-e+

1

2

＜0，
∴f（x）=-e^x+1-sin

πx

2

+

1

2

在[-1，0]上只有一個零點；②
由①②知，函數f（x）在一個周期內共有2個零點；
∴f（x）在區間[2013，2016]上的零點個數為3個，（由2為其周期知，在[2013，2014]上一個，在[2014，2015]上一個，在[2015，2016]上一個），即n=3．
故選：C．

點評：本題考查抽象函數及其應用，著重考查分段函數解析式的確定，考查通過導數判斷函數的單調性與零點個數，是難點，考查綜合分析與運算能力，屬于難題．