Question

【題目】如圖四棱錐P﹣ABCD底面是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=1， ，E是BC上的點(diǎn)，

（1）試確定E點(diǎn)的位置使平面PED⊥平面PAC，并證明你的結(jié)論；
（2）在條件（1）下，求二面角B﹣PE﹣D的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥DE，

若平面PED⊥平面PAC，

則需要ED⊥平面PAC，

即ED⊥AC即可．

∵PA=AB=1， ，

∴P（0，0，1），D（0， ，0），B（1，0，0），

C（1， ，0），

設(shè)BE=a，則E（1，a，0），

則 =（1， ，0）， =（﹣1， ﹣a，0），

由 =（1， ，0）（﹣1， ﹣a，0）=0，

得﹣1+ （ ﹣a）=0，得a= ，即E是BC的中點(diǎn)．

（2）解：在條件（1）下，即E是BC的中點(diǎn)，則E（1， ，0），

則 =（1， ，﹣1）， =（0， ，0）， =（﹣1， ，0），

設(shè)平面BPE的法向量 =（x，y，z），平面PED的法向量 =（x，y，z），

則由 得 ，即 ，令x=1，則z=1，即 =（1，0，1），

則由 得 ，令y= ，則x=1，z=2即 =（1， ，2），

則cos＜ ， ＞|= = = = ，

∵二面角B﹣PE﹣D是鈍二面角，

∴二面角B﹣PE﹣D的余弦值為﹣ ．

【解析】（1）以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明ED⊥AC即可．（2）求出平面的法向量利用向量法即可求二面角B﹣PE﹣D的余弦值．
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用平面與平面垂直的性質(zhì)，掌握兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直即可以解答此題．