Question

在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，設向量

m

=（a，cosB），

n

=（b，cosA）且

m

∥

n

，

m

≠

n

．
（1）求角C的大小；
（2）求sinA+sinB的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由兩向量的坐標，根據兩向量平行時坐標的特點列出關系式，整理后利用正弦定理化簡得到sin2A=sin2B，根據A和B的范圍，得到2A及2B的范圍，根據正弦函數的圖象與性質得到2A=2B或2A+2B=π，由

m

≠

n

，得到A不等于B，可得出A和B互余，進而得到C的度數；
（2）由A與B互余，用A表示出B，代入sinA+sinB中，利用誘導公式化簡后，提取

2

，利用兩角和與差的正弦函數公式及特殊角的三角函數值化為一個角的正弦函數，由A的范圍求出這個角的范圍，利用正弦函數的圖象與性質得出正弦函數的值域，進而確定出所求式子的范圍．

解答：解：（1）∵向量

m

=（a，cosB），

n

=（b，cosA），且

m

∥

n

，
∴a：b=cosB：cosA，即acosA=bcosB，
根據正弦定理化簡得：2RsinAcosA=2RsinBcosB，即sin2A=sin2B，
∵0＜2A＜2π，0＜2B＜2π，∴2A=2B或2A+2B=π，
又

m

≠

n

，故A≠B，∴A+B=

π

2

，
則C=

π

2

；
（2）∵A+B=

π

2

，
∴sinA+sinB=sinA+sin（

π

2

-A）=sinA+cosA=

2

sin（A+

π

4

），
又0＜A＜

π

2

，∴

π

4

＜A+

π

4

＜

3π

4

，
∴

2

2

＜sin（A+

π

4

）≤1，
∴1＜

2

sin（A+

π

4

）≤

2

，
則sinA+sinB的取值范圍是（1，

2

]．

點評：此題考查了平面向量的數量積運算，正弦定理，誘導公式，兩角和與差的正弦函數公式，以及正弦函數的定義域與值域，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．