Question

如圖，l₁、l₂是互相垂直的異面直線，MN是它們的公垂線段.點A、B在l₁上，C在l₂上，AM=MB=MN.

(Ⅰ)證明AC⊥NB；

(Ⅱ)若∠ACB=60°，求NB與平面ABC所成角的余弦值.

Answer 1

解法一：(Ⅰ)由已知l₂⊥MN，l₂⊥l₁，MN∩l₁=M,∴l₂⊥平面ABN.

    又AM=MB=MN,∴AN⊥NB,且AN=NB.

    又AN為AC在平面的射影，∴AC⊥NB.

(Ⅱ)∵Rt△CNA≌Rt△CNB，∴AC=BC,又已知∠ACB=60°,

    因此△ABC為正三角形，∴Rt△ANB≌Rt△CNB，

∴NC=NA=NB,∴N在平面ABC的射影，H是△ABC的中心，連結BH，∠NBH為NB與平面ABC所成的角，在Rt△NHB中cos∠NBH=.

解法二：建立如圖空間直角坐標系，令MN=1,則有A(-1,0,0)B(1,0,0)N(0,1,0).

(Ⅰ)∵MN是l₁、l₂的公垂線，l₁⊥l₂，∴l₂⊥平面ABN，故可設C(0，1，m)，

    于是=(1,1,m),=(1,-1,0),

∴·=1×1+1×(-1)+m·0=0,∴AC⊥BN.

(Ⅱ)∵=(1,1,m),=(-1,1,m),∴｜｜=｜｜,

    又∠ACB=60°,∴△ABC為正三角形，AC=BC=AB=2,

    在Rt△CNB中，NB=2,∴NC=,故C(0，1，),

    連結MC作NH⊥MC于H，設H(0，λ,λ)(λ＞0),

=(0,1-λ,-λ)=(0,1,),

·=1-λ-2λ=0,∴λ=,

∴H(0,,),=(0,,-),=(-1,,),∵·=×+×(-)=0,

∴⊥,即∠NBH即為NB與平面所成的角，

    又=(-1,1,0),

∴cos∠NBH=

==.