Question

如圖，l₁、l₂是互相垂直的異面直線，MN是它們的公垂線段．點A、B在l₁上，C在l₂上，AM=MB=MN，
(Ⅰ)證明：AC⊥NB；
(Ⅱ)若∠ACB=60°，求NB與平面ABC所成角的余弦值．

Answer 1

(I)證明：由已知l2⊥MN，l2⊥l1，MN∩l1=M， 可得l2⊥平面ABN， 由已知MN⊥l1，AM=MB=MN， 可知AN=NB且AN⊥NB， 又AN為AC在平面ABN內的射影， ∴AC⊥NB．
(Ⅱ)解：∵Rt△CNA≌Rt△CNB， ∴AC=BC， 又已知∠ACB=60°，因此△ABC為正三角形， ∵Rt△ANB≌Rt△CNB， ∴NC=NA=NB， 因此N在平面ABC內的射影H是正三角形ABC的中心， 連結BH，∠NBH即為NB與平面ABC所成的角， 在Rt△NHB中，， ∴NB與平面ABC所成角的余弦值為。