Question

如圖，l₁、l₂是互相垂直的異面直線，MN是它們的公垂線段.點A、B在l₁上，C在l₂上，AM=MB=MN.

（1）證明AC⊥NB；

（2）若∠ACB=60°，求NB與平面ABC所成角的余弦值.

Answer 1

（1）證明：由已知l₂⊥MN,l₂⊥l₁,MN∩l₁=M,可得l₂⊥平面ABN.

由已知MN⊥l₁,AM=MB=MN,可知AN=NB且AN⊥NB.

又AN為AC在平面ABN內的射影.

∴AC⊥NB.

（2）解：∵Rt△CNA≌Rt△CNB,∴AC=BC.

又已知∠ACB=60°,因此△ABC為正三角形.

∵Rt△ANB≌Rt△CNB,

∴NC=NA=NB.

因此N在平面ABC內的射影H是正三角形ABC的中心,連結BH,∠NBH為NB與平面ABC所成的角.

在Rt△NHB中,cos∠NBH=.