Question

已知橢圓方程為，斜率為k（k≠0）的直線l過橢圓的上焦點且與橢圓相交于P，Q兩點，線段PQ的垂直平分線與y軸相交于點M（0，m）．
（Ⅰ）求m的取值范圍；
（Ⅱ）求△MPQ面積的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設直線l的方程為y=kx+1，由可得（k²+2）x²+2kx-1=0．設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則，．可得．由此能求出m的取值范圍．
（Ⅱ）設橢圓上焦點為F，則=，所以△MPQ的面積為（）．由此能求出△MPQ的面積的最大值．
解答：解：（Ⅰ）設直線l的方程為y=kx+1，由可得（k²+2）x²+2kx-1=0．
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則，．
可得．…（3分）
設線段PQ中點為N，則點N的坐標為，
由題意有k_MN•k=-1，可得．可得m=，
又k≠0，所以．…（6分）
（Ⅱ）設橢圓上焦點為F，
則=…（9分）
所以△MPQ的面積為（）．
設f（m）=m（1-m）³，則f'（m）=（1-m）²（1-4m）．
可知f（m）在區間單調遞增，在區間單調遞減．
所以，當時，f（m）=m（1-m）³有最大值．
所以，當時，△MPQ的面積有最大值．…（12分）
點評：本題考查m的取值范圍和求△MPQ面積的最大值．解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．