Question

【題目】設整數集合,其中 ，且對于任意，若，則

（1）請寫出一個滿足條件的集合;

（2）證明:任意;

（3）若,求滿足條件的集合的個數.

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析 （3）16個

【解析】

（1）根據題目條件，令，即可寫出一個集合；

（2）由反證法即可證明；

（3）因為任意的，所以集合中至多5個元素.設，先通過判斷集合中前個元素的最大值可以推出，故集合的個數與集合的子集個數相同，即可求出．

（1）答案不唯一． 如；

（2）假設存在一個使得，

令，其中且，

由題意，得，

由為正整數，得，這與為集合中的最大元素矛盾，

所以任意，．

（3）設集合中有個元素，，

由題意，得，，

由（2）知，．

假設，則．

因為，

由題設條件，得，

因為，

所以由（2）可得，

這與為中不超過的最大元素矛盾，

所以，

又因為，，

所以．

任給集合的元子集，令，

以下證明集合符合題意：

對于任意，則．

若，則有，

所以，，從而．

故集合符合題意，

所以滿足條件的集合的個數與集合的子集個數相同，

故滿足條件的集合有個．