Question

甲、乙兩人玩投籃游戲，規則如下：兩人輪流投籃，每人至多投2次，甲先投，若有人投中即停止投籃，結束游戲，已知甲每次投中的概率為

1

4

，乙每次投中的概率為

1

3

求：
（I）乙投籃次數不超過1次的概率．
（Ⅱ）記甲、乙兩人投籃次數和為ξ，求ξ的分布列和數學期望．

Answer 1

分析：（I）記“甲投籃投中”為事件A，“乙投籃投中”為事件B，由題設條件，“乙投籃次數不超過1次”包括三種情況：一種是甲第1次投籃投中，另一種是甲第1次投籃未投中而乙第1次投籃投中，再一種是甲、乙第1次投籃均未投中而甲第2次投籃投中，利用互斥事件的概率公式即可求解；
（II）由題意知甲、乙投籃總次數ξ的取值1，2，3，4，分別求出相應的概率，即可得到ξ的分布列與期望．

解答：解：（I）記“甲投籃投中”為事件A，“乙投籃投中”為事件B．
“乙投籃次數不超過1次”包括三種情況：一種是甲第1次投籃投中，另一種是甲第1次投籃未投中而乙第1次投籃投中，再一種是甲、乙第1次投籃均未投中而甲第2次投籃投中，
所求的概率是P=P（A+

.

A

•B+

.

A

•

.

B

•A)
=P(A)+P(

.

A

•B)+P(

.

A

•

.

B

•A)=P(A)+P(

.

A

)•P(B)+P(

.

A

)•P(

.

B

)•P(A)

= 1 4 + 3 4 × 1 3 + 3 4 × 2 3 × 1 4 = 5 8 .

乙投籃次數不超過1次的概率為

5

8

…（7分）
（2）甲、乙投籃總次數ξ的取值1，2，3，4，
甲、乙投籃次數總和ξ的分布列為：

ξ	1	2	3	4
P	1 4	1 4	1 8	3 8

…（11分）
甲、乙投籃總次數ξ的數學期望為Eξ=1×

1

4

+2×

1

4

+3×

1

8

+4×

3

8

=

21

8

…（13分）

點評：本題考查互斥事件概率的求解，考查離散型隨機變量的分布列與期望，解題的關鍵是確定變量的取值，理解變量取值的含義，屬于中檔題．