Question

【題目】如圖所示，四棱錐P﹣ABCD的底面為直角梯形，∠ADC=∠DCB=90°，AD=1，BC=3，PC=CD=2，PC⊥底面ABCD，E為AB的中點．

（1）求證：平面PDE⊥平面PAC；
（2）求直線PC與平面PDE所成的角的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）解：以點C為坐標原點，以直線CD，CB，CP分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系C﹣xyz，

則C（0，0，0），A（2，1，0），B（0，3，0），P（0，0，2），D（2，0，0），E（1，2，0）．

∴ ， ， ，

∴ ， ，

∴DE⊥CA，DE⊥CP，

又CP∩CA=C，AC平面PAC，CP平面PAC，

∴DE⊥平面PAC，∵DE平面PDE，

∴平面PDE⊥平面PAC．

（2）解： ，

設 是平面PDE的一個法向量，則 ，

∴ ，

令x=2，則y=1，z=2，即 ，

∴ =4，| |=3，| |=2，

∴cos＜ ＞= = ．

∴直線PC與平面PDE所成的角的正弦值為 ．

【解析】（1）點C為坐標原點建立空間直角坐標系，求出向量 ， ， 的坐標，根據數量積得出DE⊥AC，DE⊥CP，故而DE⊥平面PAC，于是平面PDE⊥平面PAC；（2）求出平面PDE的法向量 ，計算 與 的夾角，則直線PC與平面PDE所成的角的正弦值等于|cos＜ ＞|．