Question

已知函數，其中0＜a＜b．
（1）當D=（0，+∞）時，設，f（x）=g（t），求y=g（t）的解析式及定義域；
（2）當D=（0，+∞），a=1，b=2時，求f（x）的最小值；
（3）設k＞0，當a=k²，b=（k+1）²時，1≤f（x）≤9對任意x∈[a，b]恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵t=+，0＜a＜b，x＞0，
∴t≥2=，
又f（x）=+=+1-，f（x）=g（t），
∴g（t）=（t-1）²+1-，t∈[，+∞）；
（2）∵x＞0，a=1，b=2，
∴f（x）=-3，又x+-1≥2-1（當且僅當x=時取“=”）
∴f（x）≥-3=6-4，
∴f（x）_min=6-4．
（3）由題意可得，x∈[a，b]=[k²，（k+1）²]，1≤f（x）≤9恒成立，
∴只需求得x∈[k²，（k+1）²]時f（x）的最小值即可．
∵此時，f（x）=+1-，
∵k＞0，x＞0，令g（x）=+=（x+）≥•k（k+1）=2（當且僅當x=k（k+1）時取“=”）．
∴g（x）_min=，由題意可知，當g（x）取到最小值時，f（x）取到最小值．
∴f（x）_min=+1-=，
∴1≤≤9，而k＞0，
∴≤k≤．
分析：（1）由題意可得f（x）=+1-，而t=+，于是可得y=g（t）的解析式及定義域；
（2）a=1，b=2時，f（x）=-3，利用x+-1≥2-1即可求得f（x）的最小值；
（3）由題意可求得x∈[a，b]=[k²，（k+1）²]時，f（x）_min=，由1≤≤9，k＞0，即可求得k的取值范圍．
點評：本題考查基本不等式，考查函數恒成立問題，考查二次函數的性質，考查綜合分析與運算能力，難度大，屬于難題．