Question

已知函數，其中0＜a＜b．
（1）當a=1，b=2時，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2^m-1對任意0＜a＜b恒成立，求實數m的取值范圍；
（3）設k、c＞0，當a=k²，b=（k+c）²時，記f（x）=f₁（x）；當a=（k+c）²，b=（k+2c）²時，記f（x）=f₂（x）．
求證：．

Answer 1

【答案】分析：（1）當a=1，b=2時，=（x²+）-2（）+2，利用換元法，轉化為二次函數，利用單調性，可求f（x）的最小值；
（2）f（x）≥2^m-1對任意0＜a＜b恒成立，等價于f（x）_min≥2^m-1，函數可化為=-2（）-+2，利用換元法，轉化為二次函數，利用單調性，即可求實數m的取值范圍；
（3）利用基本不等式可得（a²+b²）≥，從而可得＞＞2，利用條件再利用基本不等式，即可證得結論．
解答：解：（1）當a=1，b=2時，=（x²+）-2（）+2
令=t（t≥2），y=t²-2t-2=（t-1）²-3
∴函數在[2，+∞）上單調增，∴y≥6-4
∴f（x）的最小值為6-4；
（2）f（x）≥2^m-1對任意0＜a＜b恒成立，等價于f（x）_min≥2^m-1
=-2（）-+2
令=t（t≥），則y=t²-2t-+2
∴函數在[，+∞）上單調增，∴y≥＞0
∴0≥2^m-1
∴m≤0；
（3）因為（a²+b²）≥，所以＞＞2
當a=k²，b=（k+c）²時，=；當a=（k+c）²，b=（k+2c）²時，=
所以f₁（x）+f₂（x）＞2（）²+2（）²）＞（因為0＜a＜b，所以等號取不到）
點評：本題考查基本不等式的運用，考查函數的單調性，多次應用了基本不等式，注意等號成立的條件．