Question

已知函數，其中0＜a＜b．
（1）當D=（0，+∞）時，設，f（x）=g（t），求y=g（t）的解析式及定義域；
（2）當D=（0，+∞），a=1，b=2時，求f（x）的最小值；
（3）設k＞0，當a=k²，b=（k+1）²時，1≤f（x）≤9對任意x∈[a，b]恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意可得f（x）=+1-，而t=+，于是可得y=g（t）的解析式及定義域；
（2）a=1，b=2時，f（x）=-3，利用x+-1≥2-1即可求得f（x）的最小值；
（3）由題意可求得x∈[a，b]=[k²，（k+1）²]時，f（x）_min=，由1≤≤9，k＞0，即可求得k的取值范圍．
解答：解：（1）∵t=+，0＜a＜b，x＞0，
∴t≥2=，
又f（x）=+=+1-，f（x）=g（t），
∴g（t）=（t-1）²+1-，t∈[，+∞）；
（2）∵x＞0，a=1，b=2，
∴f（x）=-3，又x+-1≥2-1（當且僅當x=時取“=”）
∴f（x）≥-3=6-4，
∴f（x）_min=6-4．
（3）由題意可得，x∈[a，b]=[k²，（k+1）²]，1≤f（x）≤9恒成立，
∴只需求得x∈[k²，（k+1）²]時f（x）的最小值即可．
∵此時，f（x）=+1-，
∵k＞0，x＞0，令g（x）=+=（x+）
由雙鉤函數y=h（x）=x+（a＞0）的性質h（x）在（0，]單調遞減，在[，+∞）單調遞增得：
g（x）在[k²，k（k+1）]上單調遞減，在[k（k+1），（k+1）²]單調遞增
∴當x=k（k+1）時g（x）取到最小值；
當x=k²時，g（k²）=2++；
當x=（k+1）²時，g（（k+1）²）=2++=g（k²），即當x=k²或（k+1）²時g（x）取到最大值；
∴g（x）_min=，g（x）_max=2++；
由題意可知，當g（x）取到最小值時，f（x）取到最小值，g（x）取到最大值時，f（x）亦取到最大值．
∴f（x）_min=+1-=；
同理可求，f（x）_max==．
∵1≤f（x）≤9對任意x∈[k²，（k+1）²]恒成立，
∴，而k＞0，
∴0＜k≤．
點評：本題考查基本不等式，考查函數恒成立問題，考查二次函數的性質，考查綜合分析與運算能力，難度大，屬于難題．