Question

已知橢圓C：，直線l與橢圓C相交于A、B兩點，（其中O為坐標原點）．
（1）試探究：點O到直線AB的距離是否為定值，若是，求出該定值，若不是，請說明理由；
（2）求|OA|•|OB|的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）點O到直線AB的距離是定值．設A（x₁，x₂），B（x₂，y₂），當直線AB的斜率不存在時，則由橢圓的對稱性可知，x₁=x₂，y₁=-y₂，此時點O到直線AB的距離d=|x₁|=；當直線AB的斜率存在時，設直線AB的方程為y=kx+m，與橢圓C：聯立，得：（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，由根與系數的關系得到O到直線AB的距離d==．由此能求出點O到直線AB的距離為定值．
（Ⅱ）（法一：參數法）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），設直線OA的斜率為k（k≠0），則OA的方程為y=kx，OB的方程為y=-，解方程組，得，同理可求得，由此能推導出|OA|•|OB|的最小值．
法二：（均值不等式法）由（Ⅰ）可知，O到直線AB的距離．在Rt△OAB中，d=，故有=，由此能求出|OA|•|OB|的最小值．
法三：（三角函數法）由（Ⅰ）知，在Rt△OAB中，點O到直線AB的距離|OH|=．設∠OAH=θ，則∠BOH=θ，故|OA|=，|OB|=．所以，|OA|×|OB|==，由此能求出|OA|•|OB|的最小值．
解答：解：（Ⅰ）點O到直線AB的距離是定值．
設A（x₁，x₂），B（x₂，y₂），
①當直線AB的斜率不存在時，則由橢圓的對稱性可知，x₁=x₂，y₁=-y₂，
∵，即x₁x₂+y₁y₂=0，也就是，代入橢圓方程解得：．
此時點O到直線AB的距離d=|x₁|=．…（2分）
②當直線AB的斜率存在時，設直線AB的方程為y=kx+m，
與橢圓C：聯立，
消去y得：（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，
∵，，…（3分）
因為OA⊥OB，所以x₁x₂+y₁y₂=0，
所以（1+k²），…（4分）
代入得：，
整理得5m²=4（k²+1），…（5分）
O到直線AB的距離d==．
綜上所述，點O到直線AB的距離為定值．…（6分）
（Ⅱ）（法一：參數法）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），設直線OA的斜率為k（k≠0），則OA的方程為y=kx，OB的方程為y=-，
解方程組，得，
同理可求得，
故
=．…（9分）
令1+k²=t（t＞1），則|OA|•|OB|=4=4，
令=-9（t＞1），所以4＜g（t）≤，即．…（11分）
當k=0時，可求得|OA|•|OB|=2，故，故|OA|•|OB|的最小值為，最大值為2．…（13分）
法二：（均值不等式法）由（Ⅰ）可知，O到直線AB的距離．
在Rt△OAB中，d=，故有=，
即，…（9分）
而|OA|²+|OB|²≥2|OA|×|OB，（當且僅當|OA|=|OB|時取等號）
代入上式可得：，
即，（當且僅當|OA|=|OB|時取等號）．…（11分）
故|OA|•|OB|的最小值為．…（13分）
法三：（三角函數法）由（Ⅰ）可知，如圖，在Rt△OAB中，點O到直線AB的距離|OH|=．
設∠OAH=θ，則∠BOH=θ，故|OA|=，|OB|=．…（9分）
所以，|OA|×|OB|==，…（11分）
顯然，當2θ=，即時，|OA|•|OB|取得最小值，最小值為．…（13分）
點評：本題探究點到直線的距離是否為定值，求線段乘積的最小值．考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．綜合性強，難度大，有一定的探索性，對數學思維能力要求較高，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．