Question

已知橢圓C：，直線l過點M（m，0）．
（Ⅰ）若直線l交y軸于點N，當m=-1時，MN中點恰在橢圓C上，求直線l的方程；
（Ⅱ）如圖，若直線l交橢圓C于A，B兩點，當m=-4時，在x軸上是否存在點p，使得△PAB為等邊三角形？若存在，求出點p坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）設點N（0，n），則MN的中點為（-，），
∴=1，解得n=，
所以直線l的方程為：y=±（x+1）．
（Ⅱ）假設在x軸上存在點P，使得△PAB為等邊三角形．
設直線l為x=ty-4，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則，∴（3t²+4）y²-24ty+36=0，
∴y₁+y₂=，，△=144（t²-4）＞0，
∴AB中點為（，），
∴AB的中垂線為：y-=-t（x+），
∴點P為（-，0），∴P到直線l的距離d==，
∵|AB|=，
∴=，
∴t=±，
∴存在點P為（-，0）．
分析：（Ⅰ）設點N（0，n），表示出MN中點坐標，代入橢圓方程即可求得n值，從而可得直線方程；
（Ⅱ）假設在x軸上存在點P，使得△PAB為等邊三角形．設直線l為x=ty-4，寫出AB中垂線方程，進而得到P點坐標，表示出P到直線l的距離d，據弦長公式求出|AB|，則有d=•|AB|
，解出即可，注意要保證直線與橢圓有兩個交點，即直線與橢圓方程聯立消元后△＞0．
點評：本題考查直線與圓錐曲線的綜合問題、直線方程，考查學生的運算變形能力，考查學生分析解決問題的能力．