Question

設函數f（x）、g（x）的定義域分別為D_J，D_E，且D_J⊆D_E．若對于任意x⊆D_J，都有g（x）=f（x），則稱函數g（x）為f（x）在D_E上的一個延拓函數．設f（x）=e^x（x+1）（x＜0），g（x）為f（x）在R上的一個延拓函數，且g（x）是奇函數，給出以下命題：
①當x＞0時，g（x）=e^-x（x-1）；
②函數g（x）有5個零點；
③g（x）＞0的解集為（-1，0）∪（1，+∞）；
④函數g（x）的極大值為1，極小值為-1；
⑤?x₁，x₂∈R，都有|g（x₁）-g（x₂）|＜2
其中正確的命題是

 

（填上所有正確的命題序號）

Answer 1

考點：抽象函數及其應用

專題：函數的性質及應用

分析：利用題目提供的信息，可得g（x）在D_J上的解析式，然后通過函數的奇偶性可求得其在對稱區間上解析式，綜合結論即可得答案．

解答： 解：①由題意得，若x＞0時，則-x＜0，g（x）為f（x）在R上的一個延拓函數，且g（x）是奇函數，
則g（x）=f（x）=e^x（x+1）（x＜0），
∴g（-x）=e^-x（-x+1）=-g（x），
∴g（x）=e^-x（x-1），（x＞0），故①正確；
②∵g（x）=e^x（x+1）（x＜0），此時g′（x）=e^x（x+2），令其等于0，解得x=-2，
且當x∈（-∞，-2）上導數小于0，函數單調遞減；
當x∈（-2，0）上導數大于0，函數單調遞增，
x=-2處為極小值點，且g（-2）＞-1，
且在x=-1處函數值為0，且當x＜-1是函數值為負．
又∵奇函數的圖象關于原點中心對稱，故函數f（x）的圖象應如圖所示：
由圖象可知：函數g（x）有3個零點，故②錯誤；
③由②知函數g（x）＞0的解集為（-1，0）∪（1，+∞），故③正確，；
④由②知函數在x=-2處取得極小值，極小值為g（-2）=e^-2（-2+1）=-e^-2，
根據奇函數的對稱性可知在x=2處取得極大值，極大值為g（2）=e^-2，故④錯誤；
⑤當x＜0時，g（x）=e^x（x+1），則當x→0時，g（x）→1，
當x＞0時，g（x）=e^-x（x-1），則當x→0時，g（x）→-1，
即當x＜0時，-1＜-e^-2＜g（x）＜1，
即當x＞0時，-1＜g（x）＜e^-2＜1，
故有對?x₁，x₂∈R，|g（x₂）-g（x₁）|＜2恒成立，即⑤正確．
故正確的命題是①③⑤，
故答案為：①③⑤

點評：本題主要考查新定義的應用，主要考查利用函數奇偶性求函數解析式的方法，在解題時注意對于新定義的理解，有一定的難度．