Question

若橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1的離心率e=

5 -1

2

，A是左頂點，F是右焦點，B是短軸的一個端點，則∠ABF=（　　）

• A、30°
• B、45°
• C、90°
• D、120°

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：由橢圓的離心率得到a，c的關系，結合橢圓中的直角三角形，由勾股定理可得∠ABF=90°，則答案可求．

解答： 解：∵橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1的離心率e=

5 -1

2

，
∴

c

a

=

5 -1

2

，

c2

a2

=

3- 5

2

，
在三角形AOB中有|AB|²=a²+b²=2a²-c²=2a2-

3- 5

2

a2=

5 +1

2

a2，
在三角形BOF中有|BF|²=b²+c²=a²，
又|FA|=a+c，
∴|FA|²=a²+c²+2ac=a2+

3- 5

2

a2+2a•

5 -1

2

a=

3+ 5

2

a2．
∴|AF|²=|FB|²+|AB|²，
∴∠FBA等于90°．
故選：C．

點評：本題考查了橢圓的簡單幾何性質，考查了橢圓的離心率，關鍵是注意橢圓中直角三角形邊的關系的應用，是中檔題．