Question

已知函數f（x）=（x-a）lnx，a∈R．
（Ⅰ）當a=0時，求函數f（x）的極小值；
（Ⅱ）若函數f（x）在（0，+∞）上為增函數，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）當a=0時，可得函數f（x）的解析式，求導數，令導數為0，解出x的值，利用導函數值的正負來求其單調區間，進而求得其極小值；
（Ⅱ）求導函數，由于函數f（x）在（0，+∞）上為增函數，轉化為f'（x）≥0，對x∈（0，+∞）恒成立，分離參數，利用導數求g（x）=xlnx+x的最小值，即可求實數a的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）定義域（0，+∞）．
當a=0時，f（x）=xlnx，f'（x）=lnx+1．
令f'（x）=0，得x=

1

e

．
當x∈(0，

1

e

)時，f'（x）＜0，f（x）為減函數；
當x∈(

1

e

，+∞)時，f'（x）＞0，f（x）為增函數．
所以函數f（x）的極小值是f(

1

e

)=-

1

e

．                
（Ⅱ）由已知得f′(x)=lnx+

x-a

x

．
因為函數f（x）在（0，+∞）是增函數，
所以f'（x）≥0，對x∈（0，+∞）恒成立．
由f'（x）≥0得lnx+

x-a

x

≥0，即xlnx+x≥a對x∈（0，+∞）恒成立．
設g（x）=xlnx+x，要使“xlnx+x≥a對x∈（0，+∞）恒成立”，只要a≤g（x）_min．
因為g'（x）=lnx+2，令g'（x）=0得x=

1

e2

．
當x∈(0，

1

e2

)時，g'（x）＜0，g（x）為減函數；
當x∈(

1

e2

，+∞)時，g'（x）＞0，g（x）為增函數．
所以g（x）在（0，+∞）上的最小值是g(

1

e2

)=-

1

e2

．
故函數f（x）在（0，+∞）是增函數時，實數a的取值范圍是(-∞，-

1

e2

]．

點評：本題主要考查利用導數研究函數的極值以及函數的單調性，利用導數研究函數的單調性，求解函數的單調區間、極值、最值問題，是函數這一章最基本的知識，也是教學中的重點和難點，學生應熟練掌握．