Question

如圖，已知橢圓的離心率是，分別是橢圓的左、右兩個頂點，點是橢圓的右焦點。點是軸上位于右側的一點，且滿足．

（1）求橢圓的方程以及點的坐標；
（2）過點作軸的垂線，再作直線與橢圓有且僅有一個公共點，直線交直線于點．求證：以線段為直徑的圓恒過定點，并求出定點的坐標．

Answer 1

（1）；（2）定點坐標為，證明見詳解．

試題分析：（1）設，然后利用建立關于的方程，然后利用得到的方程，兩方程結合消去可得到的關系，再由條件中的離心率得到的關系，進行通過解方程組可求得的值，進行可求得橢圓的方程，以及點的坐標；（2）設．將直線代入橢圓方程消去的得到的二次方程，利用韋達定理可利用表示點的坐標．又設以線段為直徑的圓上任意一點，然后利用可求得圓的方程，再令，取時滿足上式，故過定點．
試題解析：（1），設，
由有，
又，，
于是，
又，，
又，，橢圓，且．
（2），設，由
，
由于（*），
而由韋達定理：，
，，
設以線段為直徑的圓上任意一點，
由有
，
由對稱性知定點在軸上，令，取時滿足上式，故過定點．