Question

直三棱柱中，，，，D為BC中點.

（Ⅰ）求證：;
（Ⅱ）求證：;
（Ⅲ）求二面角的正弦值.

Answer 1

（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）詳見解析；（Ⅲ）

試題分析：（Ⅰ）由等腰三角形底邊中線即為高線可得，由三棱柱為直棱柱可得側棱垂直底面從而垂直底面內的任意一條直線，即可得，根據線面垂直的判定定理可得。（Ⅱ）連接交于，連接。可知為中點。由三角形中位線可證得//，再根據線面平行的性質定理可得。（Ⅲ）建立空間坐標系，根據各邊長可得各點的坐標，從而可求出面的法向量。由題意可證得，所以即為面的一個法向量。可用向量數量積公式求兩法向量所成角的余弦值。但兩法向量所成的角與二面角相等或互補，需根據題意判斷。
試題解析：(Ⅰ) 因為 三棱柱中，平面，所以
所以CC₁AD             1分
AB=AC，且D為AC中點
ADBC              2分
             3分
AD平面BC₁             4分
（Ⅱ）
連接A₁C交AC₁于M，連接DM
側面AC₁為平行四邊形
M為A₁C中點             5分
D為BC中點
DM//A₁B             6分
    7分
A₁B//平面AC₁D             8分
（Ⅲ）在直三棱柱中，AA₁平面ABC
AA₁AB，AA₁AC
又ABAC             9分
以A為坐標原點，AB為Ox軸，AC為Oy軸，AA₁為Oz軸建立空間直角坐標系
則A（0，0，0），B（1，0，0），C（0，1，0），D（，，0），C₁（0，1，），
A₁（0，0，），
，             10分
設平面AC₁D的法向量為=(x,y,z)，


令z=1，則
             11分
又AB平面AC₁
平面AC₁的法向量             12分
若二面角D-AC₁-C的大小為
因為             13分
又 由圖可知二面角D-AC₁-C為銳角，
二面角的余弦值為
即，。            14分