Question

已知三棱柱中，平面⊥平面ABC，BC⊥AC，D為AC的中點，AC＝BC＝AA₁＝A₁C＝2。

（Ⅰ）求證：AC₁⊥平面A₁BC；
（Ⅱ）求平面AA₁B與平面A₁BC的夾角的余弦值。

Answer 1

（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）平面AA₁B與平面A₁BC的夾角的余弦值．

試題分析：（Ⅰ）求證：AC₁⊥平面A₁BC，只需證垂直平面內兩條線即可，由于平面平面，，可得，由題意可得，四邊形是菱形，由菱形對角線性質可知，，從而可得平面，也可利用向量法，即如圖以為軸建立空間直角坐標系，由 知，即可得平面；（Ⅱ）求平面AA₁B與平面A₁BC的夾角的余弦值，可用傳統方法，找二面角的平面角，設，作于，連接，則為二面角的平面角，從而求得兩平面夾角的余弦值為，還可以利用向量來求，即找出兩個平面的法向量，利用法向量的夾角平面AA₁B與平面A₁BC的夾角的余弦值．
試題解析：解法一：
（Ⅰ）由于平面平面，，所以面，所以。(2分)
而是菱形，因此，所以平面。（4分）
（Ⅱ）設，作于，連接，
由（1）知平面，即平面，所以
又于，因此，
所以為二面角的平面角，（8分）
在中，，，故直角邊，
又因為中斜邊 因此中斜邊，
所以，所以所求兩平面夾角的余弦值為。（12分）
解法二：
如圖，取的中點，則，

因為，所以，又平面，（2分）
以為軸建立空間直角坐標系，則，，，，，
（Ⅰ），，， 
由 知， （5分）
又，從而平面；（6分）
（Ⅱ）由（1）知平面的一個法向量為，
再設平面的法向量為，，，
所以，設，則，
故
因此所求兩平面夾角的余弦值為。(12分）