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在銳角△ABC中，A、B、C是它的三個內角，記S=
1
1+tanA
+
1
1+tanB
，求證：
（1）S＜1；
（2）S＜
tanA
1+tanA
+
tanB
1+tanB
．
分析：（1）先把s的解析式通分整理，利用A，B的范圍確定tanA•tanB＞1，進而得出分子小于分母，證明原式．
（2）可先看
tanA
1+tanA
+
tanB
1+tanB
-S通分整理后利用（1）中的結論判斷出結果大于0進而證明原式．
解答：證明：（1）∵S=
1+tanA+1+tanB
(1+tanA)(1+tanB)

=
1+tanA+tanB+1
1+tanA+tanB+tanAtanB

又A+B＞90°，
∴90°＞A＞90°-B＞0
∴tanA＞tan（90°-B）=cotB＞0
∴tanA•tanB＞1，
∴S＜1
（2）
tanA
1+tanA
+
tanB
1+tanB
-S
=
tanA+tanA•tanB+tanB+tanA•tanB
(1+tanA)(1+tanB)
-
1+tanA+tanB+1
(1+tanA)(1+tanB)

=
2(tanA•tanB-1)
(1+tanA)(1+tanB)
＞0
∴S＜
tanA
1+tanA
+
tanB
1+tanB
成立．
點評：本題主要考查了三角函數的最值問題．考查了考生分析問題和解決問題的能力．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量
m
=(sinx，-1)，
n
=(cosx，3)．
（1）設函數f(x)=(
m
+
n
)•
m
，求函數f（x）的單調遞增區間；
（2）已知在銳角△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，
3
c=2asin(A+B)，對于（1）中的函數f（x），求f(B+
π
8
)的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

在銳角△ABC中，A、B、C三內角所對的邊分別為a、b、c，cos2A+
1
2
=sin2A，a=
7
．
（1）若b=3，求c；
（2）求△ABC的面積的最大值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2008•奉賢區二模）在銳角△ABC中，a、b、c分別是三內角A、B、C所對的邊，若a=3，b=4，且△ABC的面積為3
3
，則角C=
π
3
π
3
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2007•武漢模擬）在銳角△ABC中，A＞B，則有下列不等式：①sinA＞sinB；②cosA＜cosB；③sin2A＞sin2B；④cos2A＜cos2B（　　）

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2005•武漢模擬）在銳角△ABC中，a、b、c分別為角A、B、C所對的邊，又c=
21
，b=4，且BC邊上高h=2
3
．
①求角C；
②a邊之長．

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同步練習冊答案
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