Question

（2007•武漢模擬）在銳角△ABC中，A＞B，則有下列不等式：①sinA＞sinB；②cosA＜cosB；③sin2A＞sin2B；④cos2A＜cos2B（　　）

A．①③

B．②③

C．①②③

D．①②④

Answer 1

分析：①利用正弦定理，sinA＞sinB 等價于 a＞b． ②由cosA＜cosB，利用同角三角函數的基本關系可得sinA＞sinB，
③由sin2A＞sin2B，不能推出a＞b，舉反例說明．  ④由cos2A＜cos2B，可得sinA＞sinB，故等價于 a＞b

解答：解：由①，A＞B，則a＞b，利用正弦定理可得 a=2rsinA，b=2rsinB，故sinA＞sinB．故①對
由②，A＞B等價于a＞b，利用正弦定理可得 a=2rsinA，b=2rsinB，故sinA＞sinB，因為銳角△ABC中，利用同角三角函數的基本關系可得cosA＜cosB，故②對
 對于③，例如A=60°，B=45°，滿足A＞B，但不滿足sin2A＞sin2B，所以③不對；
對于④，因為在銳角△ABC中，A＞B，所以a＞b，利用正弦定理可得 a=2rsinA，b=2rsinB，故sinA＞sinB，所以
利用二倍角公式即 1-2sin²A＜1-2sin²B，∴cos2A＜cos2B，故④對．
故選D

點評：本題考查正弦函數的單調性，正弦定理，同角三角函數的基本關系，三角形中有大角對大邊，將命題轉化是解題的關鍵．