Question

（2007•武漢模擬）如圖，在平面四邊形ABCD中，AB=AD=1，∠BAD=θ，而△BCD是正三角形，
（1）將四邊形ABCD面積S表示為θ的函數；
（2）求S的最大值及此時θ角的值．

Answer 1

分析：（1）四邊形ABCD的面積分為兩三角形面積之和來求，三角形ABD的面積由AB，AD及sinA的值，利用三角形的面積公式可表示出，三角形BCD為等邊三角形，其面積為

3

4

BD²，接著由AB，AD及cosA的值，利用余弦定理表示出BD²，可表示出三角形BCD的面積，兩者相加去括號后，利用兩角和與差的正弦函數公式化簡可表示出四邊形ABCD的面積，并求出此時θ的范圍；
（2）由（1）表示出的S關系式，根據θ的范圍，求出θ-

π

3

的范圍，再由正弦函數的圖象與性質可得出面積S的最大值，以及此時θ的度數．

解答：解：（1）△ABD的面積S=

1

2

AB•AD•sinA=

1

2

×1×1×sinθ=

1

2

sinθ，
∵△BDC是正三角形，則△BDC面積=

3

4

BD²，
由△ABD及余弦定理可知：BD²=1²+1²+2•1•1•cosθ=2-2cosθ，
于是四邊形ABCD面積S=

1

2

sinθ+

3

4

（2-2cosθ），
整理得：S=

3

2

+sin（θ-

π

3

）其中0＜θ＜π；
（2）由（1）得到的S=

3

2

+sin（θ-

π

3

），
∵0＜θ＜π，∴-

π

3

＜θ-

π

3

＜

2π

3

，
則當θ-

π

3

=

π

2

時，S取得最大值1+

3

2

，此時θ=

π

3

+

π

2

=

5π

6

．

點評：此題考查了三角形的面積公式，余弦定理，等邊三角形的性質，兩角和與差的正弦函數公式以及正弦函數的定義域和值域，綜合性比較強，熟練掌握公式及定理是解本題的關鍵．