Question

已知

a

，

b

是非零向量，它們之間有如下一種運算：

a

?

b

=|

a

||

b

|sin＜

a

，

b

＞，其中＜

a

，

b

＞表示

a

，

b

的夾角．給出下列命題：
①

a

?

b

=

b

?

a

；
②λ（

a

?

b

）=（λ

a

）?

b

；
③（

a

+

b

）?

c

=

a

?

c

+

b

?

c

；
④

a

⊥

b

?

a

?

b

=|

a

||

b

|；
⑤若

a

=（x₁，y₁），

b

=（x₂，y₂），則

a

?

b

=|x₁y₂-x₂y₁|．
其中真命題的個數是（　　）

• A、2
• B、3
• C、4
• D、5

Answer 1

考點：平面向量數量積的運算,命題的真假判斷與應用

專題：新定義,平面向量及應用,簡易邏輯

分析：利用新定義直接判斷①②的正誤；利用向量的運算判斷③的正誤；利用新定義判斷④的正誤；利用新定義化簡求解判斷⑤的正誤；

解答：解：∵

a

，

b

是非零向量，它們之間有如下一種運算：

a

?

b

=|

a

||

b

|sin＜

a

，

b

＞，其中＜

a

，

b

＞表示

a

，

b

的夾角．
對于①，

a

?

b

=|

a

||

b

|sin＜

a

，

b

＞，

b

?

a

=|

b

||

a

|sin＜

b

，

a

＞，∴

a

?

b

=

b

?

a

，∴①正確；
對于②，λ（

a

?

b

）=λ|

a

||

b

|sin＜

a

，

b

＞，（λ

a

）?

b

=|λ

a

||

b

|sin＜λ

a

，

b

＞，λ≥0時相等，λ＜0時，兩式不相等，∴②不正確；
對于③，（

a

+

b

）?

c

=

a

?

c

+

b

?

c

，滿足加法對乘法的結合律，∴③正確；
對于④，

a

⊥

b

，∴sin＜

a

，

b

＞=1?

a

?

b

=|

a

||

b

|；∴④正確；
對于⑤，

a

=（x₁，y₁），

b

=（x₂，y₂），則

a

?

b

=

x12+y12

•

x22+y22

sin＜

a

，

b

＞≠|x₁y₂-x₂y₁|．∴⑤不正確；
正確命題有3個．
故選：B．

點評：本題考查命題的真假的判斷，定義域的應用，考查分析問題解決問題的能力．