Question

10．已知函數g（x）=ax²-2ax+1+b（a＞0）在區間[0，3]上有最大值5和最小值1．設f（x）=$\frac{g（x）}{x}$．
（1）求a，b的值；
（2）若不等式f（x）-k≥0在x∈[1，4]上恒成立，求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求得f（x）的對稱軸方程，可得f（x）在[0，1]遞減，在[1，3]上遞增，即可得到最值，解方程可得a，b的值；
（2）由題意可得在k≤f（x），xx∈[1，4]上恒成立，運用基本不等式，可得右邊函數的最小值，即可得到k的范圍．

解答 解：（1）函數g（x）=ax²-2ax+1+b=a（x-1）²+b-a+1，
∵a＞0，開口向上，對稱軸x=1，
∴f（x）在[0，1]遞減，在[1，3]上遞增，
∴f（x）_min=f（1）=a-2a+1+b=1，f（x）_max=f（3）=9a-6a+1+b=5，
∴a=b=1；
（2）∵f（x）=$\frac{g（x）}{x}$=$\frac{{x}^{2}-2x+2}{x}$=x+$\frac{2}{x}$-2≥2$\sqrt{x•\frac{2}{x}}$=2$\sqrt{2}$-2，當且僅當x=$\sqrt{2}$∈[1，4]時取等號，
又不等式f（x）-k≥0在x∈[1，4]上恒成立，
∴k≤f（x），在x∈[1，4]上恒成立，
∴k≤2$\sqrt{2}$-2，
故k的取值范圍為（-∞，2$\sqrt{2}$-2]．

點評 本題考查二次函數的最值的求法，注意討論對稱軸和區間的關系，考查不等式恒成立問題的解法，注意運用參數分離和基本不等式的應用，考查運算能力，屬于中檔題．