Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，且a1=4，Sn=nan+2-

n(n-1)

2

，(n≥2，n∈N*)
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設數列{b_n}滿足：b₁=4，且b_n+1=b_n²-（n-1）b_n-2，（n∈N^*），
求證：b_n＞a_n，（n≥2，n∈N^*）；
（Ⅲ）求證：(1+

1

b2b3

)(1+

1

b3b4

)(1+

1

b4b5

)…(1+

1

bnbn+1

)＜

3	e

．

Answer 1

分析：（1）由 Sn=nan+2-

n(n-1)

2

，可遞推 Sn-1=(n-1)an-1+2-

(n-1)(n-2)

2

，兩式作差得a_n-a_n-1=1進而得到通項公式．
（2）用數學歸納法證明，先由證當n=2時，不等式成立．再假設當n=k（k≥2，k∈N₊）時，不等式成立，遞推到當n=k+1時成立即可．
（3）構造函數f（x）=1n（1+x）-x，可證得1n（1+x）＜x．通過對不等式的左邊取自然對數，利用結論可證．

解答：解：（1）當n≥3時，Sn=nan+2-

n(n-1)

2

，Sn-1=(n-1)an-1+2-

(n-1)(n-2)

2

，可得：an=nan-(n-1)an-1-

n-1

2

×2，∴a_n-a_n-1=1（n≥3，n∈N^*）．
∵a₁+a₂=2a₂+2-1，∴a₂=3．
可得，an=

4，(n=1) n+1．(n≥2，n∈N*)

----------------（4分）
（2）1°當n=2時，b₂=b₁²-2=14＞3=a₂，不等式成立．
2°假設當n=k（k≥2，k∈N^*）時，不等式成立，即b_k＞k+1．那么，當n=k+1時，b_k+1=b_k²-（k-1）b_k-2=b_k（b_k-k+1）-2＞2b_k-2＞2（k+1）-2=2k≥k+2，
所以當n=k+1時，不等式也成立．
根據（1°），（2°）可知，當n≥2，n∈N^*時，b_n＞a_n．--------------（8分）
（3）設f(x)=1n(1+x)-x，f′(x)=

1

1+x

-1=

-x

1+x

＜0，
∴f（x）在（0，+∞）上單調遞減，∴f（x）＜f（0），∴1n（1+x）＜x．
∵當n≥2，n∈N^*時，

1

bn

＜

1

an

=

1

n+1

，
∴ln(1+

1

bnbn+1

)＜

1

bnbn+1

＜

1

(n+1)(n+2)

=

1

n+1

-

1

n+2

，
∴ln(1+

1

b2b3

)+1n(1+

1

b3b4

)+…+ln(1+

1

bnbn+1

)＜

1

3

-

1

4

+…+

1

n+1

-

1

n+2

=

1

3

-

1

n+2

＜

1

3

∴(1+

1

b2b3

)(1+

1

b3b4

)…(1+

1

bnbn+1

)＜

3	e

．----------------------（12分）

點評：本題主要考查由數列的通項和前n項和之間的關系來求數列的通項公式，要注意分類討論，還考查了用數學歸納法證明不等式，要注意兩點，一是遞推基礎不能忽視，二是遞推時要變形，符合假設的模型．