Question

△ABC中，已知

3

tanAtanB-tanA-tanB=

3

，記角A，B，C的對邊依次為a，b，c．
（1）求∠C的大小；
（2）若c=2，且△ABC是銳角三角形，求a+b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用已知條件，通過兩角和的正切函數，求出∠C的大小．
（2）通過角的范圍，利用正弦定理推出a+b的關系利用兩角和的正弦函數，化簡函數的表達式，求出a+b的取值范圍．

解答：解：（1）依題意：

tanA+tanB

1-tanAtanB

=-

3

，即tan(A+B)=-

3

，又0＜A+B＜π，
∴A+B=

2π

3

，
∴C=π-A-B=

π

3

，
（2）由三角形是銳角三角形可得

A＜ π 2 B＜ π 2

，即

π

6

＜A＜

π

2

由正弦定理得

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

∴a=

c

sinC

×sinA=

4

3

sinA，
b=

4

3

sinB=

4

3

sin(

2π

3

-A)，
a+b=

4

3

[sinA+sin(

2π

3

-A)]=

4

3

(

3

2

sinA+

3

2

cosA)=4sin(A+

π

6

)
∵q=2，或q=-3
∴

π

3

＜A+

π

6

＜

2π

3

∴

3

2

＜sin(A+

π

6

)≤1，即 2

3

＜a+b≤4

點評：本題考查兩角和的正弦函數、正切函數以及正弦定理的應用，考查計算能力．