Question

已知函數(shù)f(x)=

3 sin4x

cos2x

+asin2x在x=

π

6

時取到最大值．
（1）求函數(shù)f（x）的定義域；（2）求實數(shù)a的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)分母不為零，即cos2x≠0求出函數(shù)的定義域，要用集合形式表示；
（2）利用倍角公式對解析式進行化簡，利用asinx+bcosx≤

a2+b2

和條件列出方程，求出a的值．

解答：解：（1）要使函數(shù)有意義，則需要滿足cos2x≠0，即2x≠kπ+

π

2

(k∈z)，
∴f（x）的定義域為{x|x≠

1

2

kπ+

π

4

，k∈z}．
（2）由f(x)=

3 sin4x

cos2x

+asinx2=2

3

sin2x+

a

2

(1-cos2x)（6分）
∴f(x)=2

3

sin2x-

a

2

cos2x+

a

2

≤

(2 3 )2+( a 2 )2

+

a

2

∵x=

π

6

時，f（x）取到最大值，則2

3

sin

π

3

-

a

2

cos

π

3

=

12+( a 2 )2

∴3-

a

4

=

12+( a 2 )2

，解得a=-4
因此所求實數(shù)a的值為-4．

點評：本題考查了三角函數(shù)的定義域和最值的求法，利用倍角公式和正弦函數(shù)的性質(zhì)，三角函數(shù)是高考的重點，必須掌握和理解公式以及三角函數(shù)的性質(zhì)并會應用．