（本小題16分）設雙曲線：
的焦點為F1,F2.離心率為2。
（1）求此雙曲線漸近線L1,L2的方程；
（2）若A,B分別為L1,L2上的動點，且2
,求線段AB中點M的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線。
（1）由已知雙曲線的離心率為2得：
解得a2=1, ……2分
所以雙曲線的方程為
， ……4分
所以漸近線L1,L2的方程為
和
＝0 ……6分
（2）c2＝a2＋b2＝4，得c＝2 ，所以
，
又2
所以
=10 ……8分
設A在L1上，B在L2上，設A（x1，
，B(x2，－
所以
即
……10分
設AB的中點M的坐標為（x，y），則x＝
，y＝
所以x1＋x2＝2x ， x1－x2＝2
y
所以
整理得：
……14分
所以線段AB中點M的軌跡方程為：
，軌跡是橢圓。 ……16分
【解析】
試題分析：（1）由已知雙曲線的離心率為2得：解得a2=1, ……2分
所以雙曲線的方程為， ……4分
所以漸近線L1,L2的方程為和＝0 ……6分
（2）c2＝a2＋b2＝4，得c＝2 ，所以，
又2所以=10 ……8分
設A在L1上，B在L2上，設A（x1，，B(x2，－
所以即 ……10分
設AB的中點M的坐標為（x，y），則x＝，y＝
所以x1＋x2＝2x ， x1－x2＝2y
所以整理得： ……14分
所以線段AB中點M的軌跡方程為：，軌跡是橢圓。 ……16分
考點：本題主要考查雙曲線的標準方程及幾何性質，軌跡方程的求法。
點評：點評：求曲線的軌跡方程是解析幾何的基本問題，本題利用相關點法求軌跡方程，相關點法 根據相關點所滿足的方程，通過轉換而求動點的軌跡方程．中檔題。
名校課堂系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
（本小題16分）已知數列
的前n項的和Sn，滿足
．
（1）求數列的通項公式．（2）設
，是否存在正整數k，使得當n≥3時，
如果存在，求出k；如果不存在，請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
（本小題16分）已知平面直角坐標系
中O是坐標原點，
，圓
是
的外接圓，過點（2，6）的直線
被圓所截得的弦長為
.
（I）求圓的方程及直線的方程；
（II）設圓
的方程
，
，過圓上任意一點
作圓的兩條切線
，切點為
，求
的最大值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
（本小題16分）函數
的定義域為{x| x ≠1}，圖象過原點，且
．
（1）試求函數
的單調減區間；
（2）已知各項均為負數的數列
前n項和為
，滿足
，求證：
；
（3）設
，是否存在
，使得
？若存在，求出
，證明結論；若不存在，說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
（本小題16分）已知點A(-1, 0)、B(1, 0),△ABC的周長為2＋2.記動點C的軌跡
為曲線W.
(1)直接寫出W的方程（不寫過程）；
(2)經過點（0, ）且斜率為k的直線l與曲線W 有兩個不同的交點P和Q，是否存在常數k，使得向量
與向量
共線？如果存在，求出k的值；如果不存在，請說明理由.
（3）設W的左右焦點分別為F1、 F2，點R在直線l：x－
y＋8＝0上．當∠F1RF2取最大值時，求
的值.
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