Question

（本小題16分）已知點A(-1, 0)、B(1, 0),△ABC的周長為2＋2.記動點C的軌跡

為曲線W.

(1)直接寫出W的方程（不寫過程）；

(2)經過點（0, ）且斜率為k的直線l與曲線W 有兩個不同的交點P和Q，是否存在常數k，使得向量與向量共線？如果存在，求出k的值；如果不存在，請說明理由.

（3）設W的左右焦點分別為F₁、 F₂，點R在直線l：x－y＋8＝0上．當∠F₁RF₂取最大值時，求的值.

Answer 1

解：(1) W:   .

(2) 設直線l的方程為，代入橢圓方程，得.

整理，得.   ①    

因為直線l與橢圓有兩個不同的交點P和Q等價于

，解得或.

設P（x₁,y₁）,Q(x₂,y₂),則＝（x₁+x₂，y₁+y₂),

由①得.                 ②

又                ③

所以與向量共線等價于將②③代入上式，解得.

     所以不存在常數k，使得向量與共線

（3）當∠F₁RF₂取最大值時，過R、F₁、F₂的圓的圓心角最大，故其半徑最小，與直線l相切.

直線l與x軸于S(-8,0),∽

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