Question

已知函數f(x)=

1

3

x3-x2-3x+

4

3

，g(x)=-

9x+c

2

，
（1）若對于?x₁，x₂∈[-2，2]，都有f（x₁）＜g（x₂），求c的范圍；
（2）?x₁∈[-2，2]，?x₂∈[-2，2]使f（x₁）＜g（x₂），求c的范圍．
（3）若對于?x∈[-2，2]，都有f（x）＜g（x），求c的范圍．

Answer 1

分析：（1）對于?x₁，x₂∈[-2，2]，都有f（x₁）＜g（x₂），?f（x₁）_max＜g（x₂）_min，對于?x₁，x₂∈[-2，2]．利用導數即可得出f（x）在區間[-2，2]上的最大值，利用一次函數的單調性即可得出g（x）在區間[-2，2]上的最小值，進而得到c的取值范圍．
（2）?x₁∈[-2，2]，?x₂∈[-2，2]使f（x₁）＜g（x₂），?g（x₂）_max＞f（x₁）_max，利用（1）即可得出；
（3）對于?x∈[-2，2]，都有f（x）＜g（x），?f（x）-g（x）＜0，?x∈[-2，2]．利用導數研究其單調性最大值即可．

解答：解：（1）∵f'（x）=x²-2x-3=（x-3）（x+1），當x∈（-2，-1），f'（x）＞0；當x∈（-1，2），f'（x）＜0．
∴f（x）在（-2，-1）上為增函數，在（-1，2）上為減函數．
由對于?x₁，x₂∈[-2，2]，都有f（x₁）＜g（x₂），?f（x₁）_max＜g（x₂）_min，對于?x₁，x₂∈[-2，2]．
而f（x₁）_max=f（-1）=3，g(x2)min=g(2)=-9-

c

2

，
∴3＜-9-

c

2

，得c＜-24．
（2）?x₁∈[-2，2]，?x₂∈[-2，2]使f（x₁）＜g（x₂），?g（x₂）_max＞f（x₁）_max，
∵g(x2)max=g(-2)=9-

c

2

，f（x₁）_max=f（-1）=3，
∴9-

c

2

＞3，解得c＜12．
（3）令h(x)=f(x)-g(x)=

1

3

x3-x2-3x+

4

3

+

9x+c

2

，x∈[-2，2]．
h′(x)=x2-2x-3+

9

2

=x2-2x+

3

2

＞0，
∴h（x）在[-2，2]上為增函數，
∴h(x)max=h(2)=3+

c

2

＜0，解得：c＜-6．

點評：本題中考查了幾種恒成立問題的等價轉化、利用導數研究函數的單調性極值與最值、二次函數的單調性、一次函數的單調性等基礎知識與基本方法，屬于難題．