Question

【題目】三棱柱中，為的中點，點在側棱上，平面.

（1）證明：是的中點；

（2）設，四邊形為正方形，四邊形為矩形，且異面直線與所成的角為30°，求兩面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）二面角的余弦值為.

【解析】

（1）取的中點，利用中位線得出利用線面平行的判定，得出平面，利用面面平行的判定得出平面平面進而得出而為的中點，所以為的中點。

（2）建立直角坐標系，設，，利用異面直線與所成的角為30°,求出進而求出二面角的余弦值。

（1）證明：取的中點，連、，因為為中點，所以.

平面，平面，平面.

又由已知平面，

且，所以平面平面.

又平面，所平面.

而平面，且平面平面，所以，而為的中點，所以為的中點.

（2）由題設知：、、兩兩垂直，以為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系.

設，，則，，，，，

所以，.因為異面直線與所成的角為30°，

所以 ，解得：，于是.

設平面的法向量為，因為，

所以，取，則，所以.

又是平面的一個法向量，所以，

即二面角的余弦值為.