Question

設直線l：y=2x+2，若l與橢圓x²+

y2

4

=1的交點為A、B，點P為橢圓上的動點，則使△PAB的面積為

2

-1的點P的個數(shù)為（　　）

• A、0
• B、1
• C、2
• D、3

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：由直線l的方程與橢圓x²+

y2

4

=1的方程組成方程組，求出弦長AB，計算AB邊上的高h，
設出P的坐標，由點P到直線y=2x+2的距離d=h，結(jié)合橢圓的方程，求出點P的個數(shù)來．

解答： 解：由直線l的方程與橢圓x²+

y2

4

=1的方程組成方程組

y=2x+2 x2+ y2 4 =1

，
解得

x=0 y=2

或

x=-1 y=0

，
則A（0，2），B（-1，0），
∴AB=

(0+1)2+(2-0)2

=

5

，
∵△PAB的面積為

2

-1，
∴AB邊上的高為h=

2 -1

1 2 × 5

=

2( 2 -1)

5

．
設P的坐標為（a，b），代入橢圓方程得：a²+

b2

4

=1，
P到直線y=2x+2的距離d=

|2a-b+2|

5

=

2( 2 -1)

5

，
即2a-b=2

2

-4或2a-b=-2

2

；
聯(lián)立得：

2a-b=2 2 -4 a2+ b2 4 =1

①或

2a-b=-2 2 a2+ b2 4 =1

②，
①中的b消去得：2a²-2（

2

-2）a+5-4

2

=0，
∵△=4（

2

-2）²-4×2×（5-4

2

）＞0，∴a有兩個不相等的根，∴滿足題意的P的坐標有2個；
由②消去b得：2a²+2

2

a+1=0，
∵△=（2

2

）²-4×2×1=0，∴a有兩個相等的根，滿足題意的P的坐標有1個．
綜上，使△PAB面積為

2

-1的點P的個數(shù)為3．
故選：D．

點評：本題考查了直線與橢圓方程的綜合應用問題，考查了直線方程與橢圓方程組成方程組的求弦長的問題，是綜合性題目．