Question

如圖，長方體ABCD—A₁B₁C₁D₁中，AB=4，BC=2，BB₁=26，點E是AB的中點，過點C₁、D、E的平面交BB₁于F.

(1)求證：EF∥DC₁；

(2)求二面角C₁DEC的大小；

(3)求點C到平面C₁DEF的距離.

Answer 1

(1)證明:由長方體的性質得，面A₁ABB₁∥面D₁DCC₁,

而EF與DC₁分別是截面與這一組平行平面的交線，

∴EF∥DC₁.

(2)解:連結CE、C₁E，在矩形ABCD內，易得CE⊥DE，

由三垂線定理可得∠C₁EC即為二面角的平面角.

在Rt△C₁EC中，tan∠C₁EC==，

∴∠C₁EC=60°.

(3)解:由于平面C₁EC⊥平面C₁DEF,

∴點C到面C₁DEF的距離可轉化為點C到直線C₁E的距離.

在Rt△C₁EC中，求出斜邊上的高為，即為所求.