Question

整數(shù)數(shù)列{a_n}滿足a2=4，2+

1

an+1

＜

1 an + 1 an+1

1 n - 1 n+1

＜2+

1

an

，則數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)a_n=

 

．

Answer 1

分析：由題設(shè)知

lim

n→∞

（2+

1

an+1

）=2，

lim

n→∞

（2+

1

an

）=2，根據(jù)夾逼定理有

lim

n→∞

1 an + 1 an+1

1 n - 1 n+1

=2，由此可知a_n=n²．

解答：解：∵a2=4，2+

1

an+1

＜

1 an + 1 an+1

1 n - 1 n+1

＜2+

1

an

，
∴a_n是遞增函數(shù)，
∵a_n是正數(shù)列，∴

lim

n→∞

（2+

1

an+1

）=2，

lim

n→∞

（2+

1

an

）=2，
∴根據(jù)夾逼定理有

lim

n→∞

1 an + 1 an+1

1 n - 1 n+1

=2，
也就是說(shuō)a_n必須是n的2次項(xiàng)才能存在極限，且為2，觀察數(shù)列a2=4，
∴a_n=n²．
故答案為：n²．

點(diǎn)評(píng)：本題考查看數(shù)列的遞推式，解題時(shí)要注意極限的合理運(yùn)用．