Question

【題目】如圖，拋物線的焦點(diǎn)為，拋物線上兩點(diǎn)，在拋物線的準(zhǔn)線上的射影分別為.

（1）如圖，若點(diǎn)在線段上，過作的平行線與拋物線準(zhǔn)線交于，證明：是的中點(diǎn)；

（2）如圖，若的面積是的面積的兩倍，求中點(diǎn)的軌跡方程.

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2).

【解析】

(1) 設(shè)直線,與拋物線方程聯(lián)立可得，∴.

于是，直線，設(shè)直線與交于點(diǎn)，令.

易得

（2）設(shè)與軸的焦點(diǎn)分別為，則，∵的面積是的面積的兩倍，∴，所以點(diǎn). 可設(shè)直線，與拋物線方程聯(lián)立可得∴，從而可得

,即所求軌跡方程.

（1）由題，，準(zhǔn)線.

設(shè)直線，，.

聯(lián)立，∴.

于是，直線，

設(shè)直線與交于點(diǎn)，令.

得：

.

故直線經(jīng)過的中點(diǎn).

（2）設(shè)與軸的焦點(diǎn)分別為，

則，

∵的面積是的面積的兩倍，

∴，所以點(diǎn).

可設(shè)直線，，中點(diǎn)，

，

∴.

于是，

,

即中點(diǎn)的軌跡方程為.