Question

已知f（x）=ax⁴+bx²+c的圖象經過點（0，1），且在x=1處的切線方程是y=x-2．  
（1）求y=f（x）的解析式；
（2）求y=f（x）的單調遞增區間．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根據f（x）的圖象經過點（0，1）求出c，然后根據導數的幾何意義求出函數f（x）在x=1處的導數，從而求出切線的斜率，建立一等量關系，再根據切點在曲線上建立一等式關系，解方程組即可；
（2）首先對f（x）=-²+1求導，可得f'（x）=10x³-9x，令f′（x）＞0解之即可求出函數的單調遞增區間．
解答：解：（1）f（x）=ax⁴+bx²+c的圖象經過點（0，1），則c=1，
f'（x）=4ax³+2bx，k=f'（1）=4a+2b=1（4分）
切點為（1，-1），則f（x）=ax⁴+bx²+c的圖象經過點（1，-1），
得a+b+c=-1，得a=，b=-
f（x）=-²+1（8分）
（2）f'（x）=10x³-9x＞0，-＜x＜0，或x＞
單調遞增區間為（，-，0），（，+∞）（12分）
點評：本題考查導數的計算與應用，注意導數計算公式的正確運用與導數與單調性的關系，利用導數研究曲線上某點切線方程，屬于基礎題．