Question

已知f（x）=ax⁴+bx²+c的圖象經過點（0，1），且在x=1處的切線方程是y=x-2．  
（1）求y=f（x）的解析式；
（2）求y=f（x）的單調遞增區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)f（x）的圖象經過點（0，1）求出c，然后根據(jù)導數(shù)的幾何意義求出函數(shù)f（x）在x=1處的導數(shù)，從而求出切線的斜率，建立一等量關系，再根據(jù)切點在曲線上建立一等式關系，解方程組即可；
（2）首先對f（x）=

5

2

x4-

9

2

x²+1求導，可得f'（x）=10x³-9x，令f′（x）＞0解之即可求出函數(shù)的單調遞增區(qū)間．

解答：解：（1）f（x）=ax⁴+bx²+c的圖象經過點（0，1），則c=1，
f'（x）=4ax³+2bx，k=f'（1）=4a+2b=1（4分）
切點為（1，-1），則f（x）=ax⁴+bx²+c的圖象經過點（1，-1），
得a+b+c=-1，得a=

5

2

，b=-

9

2

f（x）=

5

2

x4-

9

2

x²+1（8分）
（2）f'（x）=10x³-9x＞0，-

3 10

10

＜x＜0，或x＞

3 10

10

單調遞增區(qū)間為（，-

3 10

10

，0），（

3 10

10

，+∞）（12分）

點評：本題考查導數(shù)的計算與應用，注意導數(shù)計算公式的正確運用與導數(shù)與單調性的關系，利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程，屬于基礎題．