Question

已知f（x）=ax⁴+bx²+c的圖象經過點（0，1），且在x=1處的切線方程是y=x﹣2． 

（1）求y=f（x）的解析式；

（2）求y=f（x）的單調遞增區間．

Answer 1

考點：

利用導數研究曲線上某點切線方程；利用導數研究函數的單調性．

專題：

計算題．

分析：

（1）先根據f（x）的圖象經過點（0，1）求出c，然后根據導數的幾何意義求出函數f（x）在x=1處的導數，從而求出切線的斜率，建立一等量關系，再根據切點在曲線上建立一等式關系，解方程組即可；

（2）首先對f（x）=﹣²+1求導，可得f'（x）=10x³﹣9x，令f′（x）＞0解之即可求出函數的單調遞增區間．

解答：

解：（1）f（x）=ax⁴+bx²+c的圖象經過點（0，1），則c=1，

f'（x）=4ax³+2bx，k=f'（1）=4a+2b=1（4分）

切點為（1，﹣1），則f（x）=ax⁴+bx²+c的圖象經過點（1，﹣1），

得a+b+c=﹣1，得a=，b=﹣

f（x）=﹣²+1（8分）

（2）f'（x）=10x³﹣9x＞0，﹣＜x＜0，或x＞

單調遞增區間為（，﹣，0），（，+∞）（12分）

點評：

本題考查導數的計算與應用，注意導數計算公式的正確運用與導數與單調性的關系，利用導數研究曲線上某點切線方程，屬于基礎題．