Question

【題目】已知函數，.

（1）設函數，若，求的極值；

（2）設函數，若的圖象與的圖象有，兩個不同的交點，證明：.

Answer 1

【答案】（1）極大值為，極小值為；（2）證明見解析.

【解析】

（1）先求函數的導函數，再利用導數判斷函數的單調性，然后求極值即可；

（2）函數的圖象與的圖象有兩個不同的交點，等價于關于的方程，即有兩個不同的根，再構造函數

解：（1）因為，

所以，

.

令，得，

所以在，上單調遞增；

令，得，

所以在上單調遞減.

故的極大值為，

故的極小值為.

（2）證明：，

因為函數的圖象與的圖象有兩個不同的交點，

所以關于的方程，即有兩個不同的根.

由題知①，②，

①+②得③，

②-①得④.

由③，④得，

不妨設，記.

令，則，

所以在上單調遞增，

所以,

則，即，

所以.

因為

所以，

即.

令，

則在上單調遞增.

又，

所以，

即，

所以.

兩邊同時取對數可得，

得證.