Question

已知函數．

（1）證明函數的圖像關于點對稱;

（2）若，求；

（3）在（2）的條件下，若 ，為數列的前項和，若對一切都成立，試求實數的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（1）函數的定義域為，設、是函數圖像上的兩點, 其中且,則有，因此函數圖像關于點對稱（2）（3）

【解析】

試題分析：（1） 證明：因為函數的定義域為， 設、是函數圖像上的兩點, 其中且,

則有 

因此函數圖像關于點對稱                           4分

（2）由（1）知當時，

①     ②

①+②得                         8分

（3）當時，

當時，，

當時， =

∴ （）

又對一切都成立，即恒成立

∴恒成立，又設,所以在上遞減,所以在處取得最大值

∴，即

所以的取值范圍是                                12分

考點：函數對稱性，求最值與數列求和

點評：證明函數關于點對稱只需證明，第二問數列求和結合通項的特點采用倒序相加法，第三問將不等式恒成立轉化為求函數最值，進而可借助于導數求解