Question

15．已知（2x+$\frac{1}{\sqrt{x}}$）ⁿ展開式前三項的二項式系數和為22．
（Ⅰ）求n的值；
（Ⅱ） 求展開式中的常數項；
（ III）求展開式中二項式系數最大的項．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用公式展開得前三項，系數和為22，即可求出n．
（Ⅱ）利用通項公式求解展開式中的常數項即可．
（ III）利用通項公式求展開式中二項式系數最大的項．

解答 解：由題意，（2x+$\frac{1}{\sqrt{x}}$）ⁿ展開式前三項的二項式系數和為22．
（Ⅰ）二項式定理展開：前三項系數為：${C}_{n}^{0}{+C}_{n}^{1}+{C}_{n}^{2}$=1+n+$\frac{n（n-1）}{2}$=22，
解得：n=6或n=-7（舍去）．
即n的值為6．
（Ⅱ）由通項公式${T_{k+1}}=C_6^k{（{2x}）^{6-k}}{（{\frac{1}{{\sqrt{x}}}}）^k}=C_6^k{2^{6-k}}{x^{6-\frac{3k}{2}}}$，
令$6-\frac{3k}{2}=0$，
可得：k=4．
∴展開式中的常數項為${T_{4+1}}=C_6^4{2^{6-4}}{x^{6-\frac{12}{2}}}$=60；
（ III）∵n是偶數，展開式共有7項．則第四項最大
∴展開式中二項式系數最大的項為${T_{3+1}}=C_6^3{2^{6-3}}{x^{6-\frac{9}{2}}}$=160${x}^{\frac{3}{2}}$．

點評 本題主要考查二項式定理的應用，通項公式的計算，屬于基礎題．