Question

為了研究某種藥物，用小白鼠進行試驗，發現藥物在血液內的濃度與時間的關系因使用方式的不同而不同．若使用注射方式給藥，則在注射后的3小時內，藥物在白鼠血液內的濃度y₁與時間t滿足關系式：y1=4-at(0＜a＜

4

3

，a為常數)，若使用口服方式給藥，則藥物在白鼠血液內的濃度y₂與時間t滿足關系式：y2=

t (0＜t＜1) 3- 2 t (1≤t≤3)

．現對小白鼠同時進行注射和口服該種藥物，且注射藥物和口服藥物的吸收與代謝互不干擾．
（1）若a=1，求3小時內，該小白鼠何時血液中藥物的濃度最高，并求出最大值
（2）若使小白鼠在用藥后3小時內血液中的藥物濃度不低于4，求正數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）建立血液中藥物的濃度與時間t的函數關系是解決本題的關鍵，要根據得出的函數關系式采取合適的辦法解決該濃度的最值問題；二次函數要注意對稱軸和區間的關系、對勾函數要注意基本不等式的運用；
（2）分段求解關于實數a的范圍問題，注意函數值域思想的應用．

解答：解：（1）藥物在白鼠血液內的濃度y與時間t的關系為：當a=1時，
y=y₁+y₂=

-t+ t +4，0＜t＜1 7-(t+ 2 t )，1≤t≤3

；
①當0＜t＜1時，y=-t+

t

+4=-（

t

-

1

2

）²+

17

4

，所以y_max=f（

1

4

）=

17

4

；
②當1≤t≤3時，∵t+

2

t

≥2

2

，所以y_max^=7-2

2

^_（當t=

2

^{_{時取到），因為}}

17

4

＞7-2

2

^{_{，故ymax=f（}}

1

4

^_）=

17

4

_{^{．
（2）由題意y=}}

-at+ t +4(0＜t＜1) 7-(at+ 2 t )(1≤t≤3)

_^①-at+

t

+4≥4_^?-at+

t

≥0_^?a≤

1

t

_{，又0＜t＜1，得出a≤1；
②}7-(at+

2

t

)≥4?at+

2

t

≤3?at≤3-

2

t

由于1≤t≤3得到a≤-

2

t2

+

3

t

，令u=

1

t

，則a≤-2u2+3u，u∈[

1

3

，1]，
所以a≤

7

9

，綜上得到以0＜a≤

7

9

．

點評：本題考查學生的函數思想，考查學生分段函數的基本思路，用好分類討論思想，注意二次函數最值問題，基本不等式在求解該題中作用．恒成立問題的處理方法．用好分離變量法．