Question

函數f（x）=cos²x+sinx+1，x∈[-

π

6

，

2π

3

]的值域為

[

5

4

，

9

4

]

．

Answer 1

分析：將函數f（x）變為關于sinx的二次函數，再由二次函數的性質求函數的值域．

解答：解：由題意可得：y=-sin²x+sinx+2=-（sinx-

1

2

）²+

9

4

，
又x∈[-

π

6

，

2π

3

]，sinx∈[-

1

2

，1]
當sinx=

1

2

時，函數f（x）取到最大值為

9

4

，
當sinx=-

1

2

時，函數f（x）取到最小值為

5

4

，
綜上函數f（x）的值域是[

5

4

，

9

4

]．
故答案為[

5

4

，

9

4

]．

點評：本題考查正弦函數的定義域和值域，求解本題關鍵是將函數變為關于sinx的二次函數，由配方法將本方，根據正弦函數的有界性判斷出函數的最值，從而得出函數的值域，本題是三角函數求值域的題型中一個很重要的題型，其規律是轉化為關于三角函數二次函數，將問題變為二次函數在閉區間上的最值問題．